परिचय
गणित की यह शाखा त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों पर आधारित है। हम किसी ऊँची वस्तु (जैसे भवन, वृक्ष, टॉवर) की ऊँचाई या दूरी को कसौटी (angle of elevation) और त्रिकोणमितीय अनुपात की मदद से ज्ञात कर सकते हैं।
महत्वपूर्ण परिभाषाएँ
- Angle of Elevation (उत्थान कोण) – किसी व्यक्ति की आंख और वस्तु के शीर्ष के बीच बनता कोण।
- Angle of Depression (अवरोहण कोण) – ऊँचे बिंदु से निचली वस्तु तक बनता कोण।
- Hypotenuse (कर्ण) – सीधे कोण वाले त्रिभुज में सबसे लंबी भुजा।
- Opposite Side (लंबवत भुजा) – त्रिकोण में कोण के सामने की भुजा।
- Adjacent Side (सहभुजा) – कोण के पास की भुजा।
त्रिकोणमितीय सूत्र
यदि θ कोण हो और त्रिकोण में भुजाएँ इस प्रकार हों:
- Opposite = ऊँचाई (h)
- Adjacent = दूरी (d)
- Hypotenuse = कर्ण (c)
- sin θ = Opposite / Hypotenuse = h / c
- cos θ = Adjacent / Hypotenuse = d / c
- tan θ = Opposite / Adjacent = h / d
साधारण उदाहरण
1. एक व्यक्ति जमीन पर खड़ा है। उसने किसी भवन की छत के लिए 30° का कोण देखा। यदि व्यक्ति और भवन की दूरी 20 m है, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल: tan θ = h / d → h = d × tan θ
h = 20 × tan 30° = 20 × (1/√3) ≈ 11.55 m
इस प्रकार, भवन की ऊँचाई ≈ 11.55 मीटर है।
2. एक टॉवर का शीर्ष देखने पर 45° का कोण प्राप्त हुआ। यदि व्यक्ति टॉवर से 50 m दूर खड़ा है, तो टॉवर की ऊँचाई?
हल: tan 45° = h / d → h = d × 1 = 50 m
टॉवर की ऊँचाई = 50 m
Angle of Depression का उदाहरण
एक समुद्र तट पर खड़ा व्यक्ति किसी जहाज को 30° के कोण से देखता है। यदि उसकी आंख की ऊँचाई 5 m है और जहाज की दूरी ज्ञात करनी है:
tan θ = Opposite / Adjacent → Adjacent = Opposite / tan θ = 5 / tan 30° = 5 × √3 ≈ 8.66 m
रियल लाइफ अनुप्रयोग
- भवन, टॉवर या पर्वत की ऊँचाई मापन
- जहाज या हवाई जहाज की दूरी मापन
- भूमि सर्वेक्षण (Land Surveying)
- इंजीनियरिंग और निर्माण कार्य में त्रिकोणमिति का प्रयोग
सारांश
“ऊँचाई और दूरी” का अध्याय हमें यह सिखाता है कि किसी वस्तु की ऊँचाई या दूरी ज्ञात करने के लिए हम सरल त्रिकोणमितीय अनुपात (tan, sin, cos) का उपयोग कर सकते हैं। प्रैक्टिस और उदाहरणों के माध्यम से इस विषय में दक्षता प्राप्त की जा सकती है।