परिचय
हमारे चारों ओर अनेक त्रिविमीय आकृतियाँ (3D Shapes) होती हैं — जैसे बॉक्स, पाइप, बॉल, टंकी आदि। इन आकृतियों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) उनके चारों ओर के कुल क्षेत्र को दर्शाता है, और आयतन (Volume) बताता है कि वे आकृतियाँ कितना स्थान घेरती हैं।
मुख्य आकृतियाँ
- घनाभ (Cuboid)
- घन (Cube)
- बेलन (Cylinder)
- शंकु (Cone)
- गोला (Sphere)
- अर्द्धगोला (Hemisphere)
- संयुक्त आकृतियाँ (Combination of Solids)
1️⃣ घनाभ (Cuboid)
घनाभ एक त्रिविमीय आकृति है जिसकी छह आयताकार सतहें (Rectangular Faces) होती हैं। यह एक डिब्बे (Box) के समान होता है।
- लंबाई (Length) = l
- चौड़ाई (Breadth) = b
- ऊँचाई (Height) = h
सूत्र:
- आयतन (Volume) = l × b × h
- पार्श्व क्षेत्रफल (Lateral Surface Area) = 2h(l + b)
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area) = 2(lb + bh + hl)
उदाहरण: यदि l = 5 से.मी., b = 4 से.मी., h = 3 से.मी. तो आयतन = 5 × 4 × 3 = 60 से.मी.³
2️⃣ घन (Cube)
घन एक विशेष घनाभ है जिसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं। जैसे पासा (Dice)।
- भुजा (Side) = a
सूत्र:
- आयतन = a³
- पार्श्व क्षेत्रफल = 4a²
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²
उदाहरण: यदि भुजा 4 से.मी. है, तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 4² = 96 से.मी.²
3️⃣ बेलन (Cylinder)
बेलन एक आकृति है जिसमें दो समानांतर वृत्ताकार आधार और एक वक्र सतह होती है, जैसे कि पाइप या डिब्बा।
- त्रिज्या (Radius) = r
- ऊँचाई (Height) = h
सूत्र:
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area) = 2πrh
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area) = 2πr(h + r)
- आयतन = πr²h
उदाहरण: यदि r = 3 से.मी. और h = 7 से.मी., तो आयतन = 22/7 × 3² × 7 = 198 से.मी.³
4️⃣ शंकु (Cone)
शंकु एक आकृति है जो एक वृत्तीय आधार और एक शीर्ष (Apex) से मिलकर बनता है। जैसे आइसक्रीम कोन।
- त्रिज्या (Radius) = r
- ऊँचाई (Height) = h
- लंबवत ऊँचाई (Slant Height) = l
सूत्र:
- लंबवत ऊँचाई: l = √(r² + h²)
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(l + r)
- आयतन = (1/3)πr²h
उदाहरण: यदि r = 3 से.मी. और h = 4 से.मी., तो l = 5 से.मी., आयतन = 1/3 × 22/7 × 3² × 4 = 37.7 से.मी.³
5️⃣ गोला (Sphere)
गोला एक पूर्णतः गोल त्रिविमीय आकृति है, जिसके हर बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होते हैं, जैसे गेंद या पृथ्वी।
- त्रिज्या (Radius) = r
सूत्र:
- पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
- आयतन = (4/3)πr³
उदाहरण: यदि r = 7 से.मी., तो आयतन = (4/3) × 22/7 × 7³ = 1436 से.मी.³
6️⃣ अर्द्धगोला (Hemisphere)
जब किसी गोले को उसके व्यास के समतल पर काटा जाता है, तो दो समान भाग बनते हैं — प्रत्येक को अर्द्धगोला कहते हैं।
- त्रिज्या = r
सूत्र:
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr²
- आयतन = (2/3)πr³
7️⃣ संयुक्त आकृतियाँ (Combination of Solids)
कभी-कभी दो या अधिक आकृतियाँ मिलकर एक नया ठोस बनाती हैं। उदाहरण: एक बेलन के ऊपर एक शंकु। ऐसी आकृतियों का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन निकालने के लिए सभी भागों के क्षेत्रफलों और आयतनों को जोड़ना या घटाना होता है।
वास्तविक जीवन में उपयोग
- टंकी, डिब्बा, पाइप, बॉल आदि का क्षेत्रफल और क्षमता ज्ञात करने में।
- निर्माण कार्यों में ईंटों, पाइपों और कंटेनरों की गणना में।
- विज्ञान, इंजीनियरिंग और डिजाइन में ठोस आकृतियों के मापन हेतु।
सारांश
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन अध्याय हमें यह समझने में मदद करता है कि किसी आकृति का बाहरी आवरण कितना है (Surface Area) और वह अंदर से कितना स्थान घेरती है (Volume)। यह अवधारणा दैनिक जीवन की हर गणना में उपयोगी है।