परिचय:
गणित में बहुपद (Polynomial) एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। बहुपद का मतलब होता है एक या एक से अधिक चर (variable) और उनके घात (exponent) का योग। बहुपद में केवल घात 0 या प्राकृतिक संख्या हो सकते हैं और घात के साथ संख्याएँ गुणांक (coefficient) कहलाती हैं।
परिभाषा:
यदि कोई अभिव्यक्ति इस रूप में हो:
P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀
जहाँ,
x = चर (variable)
aₙ, aₙ₋₁, …, a₀ = गुणांक (coefficient)
n = बहुपद की डिग्री (degree), अर्थात सबसे बड़ा घात
तो इसे बहुपद कहते हैं।
उदाहरण:
3x² + 5x + 2 → यह एक बहुपद है, डिग्री = 2
7y³ − 2y + 4 → डिग्री = 3
x − 5 → डिग्री = 1
बहुपद के प्रकार:
एक पद वाला बहुपद (Monomial):
केवल एक पद हो, जैसे 7x³, −5y²
दो पद वाला बहुपद (Binomial):
दो पदों वाला, जैसे x + 5, 3x² − 2x
तीन पद वाला बहुपद (Trinomial):
तीन पदों वाला, जैसे x² + 5x + 6
अधिक पद वाला बहुपद (Polynomial of higher degree):
चार या उससे अधिक पद वाला, जैसे x³ + 2x² − x + 7
बहुपद का जोड़ और घटाव:
समान घात वाले पदों को जोड़ें या घटाएँ।
उदाहरण:
(3x² + 5x + 2) + (x² − 2x + 4) = 4x² + 3x + 6
(3x² + 5x + 2) − (x² − 2x + 4) = 2x² + 7x − 2
बहुपद का गुणा:
प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के सभी पदों से गुणा करें।
उदाहरण:
(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6
बहुपद का भाग (Division):
एक बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग करने पर भागफल (quotient) और शेष (remainder) मिलता है।
उदाहरण:
(x² + 5x + 6) ÷ (x + 2) → quotient = x + 3, remainder = 0
बहुपद का महत्व:
भौतिक विज्ञान में गति और बल के नियम
अर्थशास्त्र और सांख्यिकी में डेटा मॉडलिंग
इंजीनियरिंग और कंप्यूटर ग्राफिक्स में curves और surfaces का निर्माण
गणितीय समीकरण हल करने और फ़ंक्शन के व्यवहार को समझने में
निष्कर्ष:
बहुपद गणित की एक मूलभूत और शक्तिशाली अवधारणा है। इसे समझकर हम अंकगणितीय, बीजगणितीय और व्यावहारिक समस्याओं को आसानी से हल कर सकते हैं। बहुपद के जोड़, घटाव, गुणा और भाग की तकनीक सीखना हर छात्र के लिए बहुत महत्वपूर्ण है।
