परिचय
त्रिभुज एक ऐसी ज्यामितीय आकृति है जो तीन भुजाओं, तीन कोणों और तीन शीर्षों से मिलकर बनती है। यह Geometry का एक बहुत ही महत्वपूर्ण अध्याय है क्योंकि लगभग हर आकृति को त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
त्रिभुज की परिभाषा
तीन रेखाखंडों से बनी बंद आकृति त्रिभुज (Triangle) कहलाती है। इसके तीन भुजाएँ (sides), तीन कोण (angles) और तीन शीर्ष (vertices) होते हैं।
Notation: यदि त्रिभुज के शीर्ष A, B, C हैं, तो इसे ΔABC लिखा जाता है।
त्रिभुज के प्रमुख भाग
- भुजाएँ (Sides): त्रिभुज की सीमाएँ।
- शीर्ष (Vertices): जहाँ दो भुजाएँ मिलती हैं।
- कोण (Angles): दो भुजाओं के बीच का झुकाव।
त्रिभुज के प्रकार
1️⃣ भुजाओं के आधार पर
(a) समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle)
जिस त्रिभुज की तीनों भुजाएँ समान हों, उसे समबाहु त्रिभुज कहते हैं। हर कोण 60° का होता है। उदाहरण: तीनों भुजाएँ 5 से.मी. वाली आकृति।
(b) समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle)
जिस त्रिभुज की कोई दो भुजाएँ समान हों, वह समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है। समान भुजाओं के सामने के कोण भी समान होते हैं।
(c) विषमभुज त्रिभुज (Scalene Triangle)
जिस त्रिभुज की तीनों भुजाएँ असमान हों, वह विषमभुज त्रिभुज कहलाता है।
2️⃣ कोणों के आधार पर
(a) न्यूनकोण त्रिभुज (Acute-angled Triangle)
जिस त्रिभुज के सभी कोण 90° से छोटे हों।
(b) समकोण त्रिभुज (Right-angled Triangle)
जिस त्रिभुज का एक कोण 90° का हो, वह समकोण त्रिभुज कहलाता है। 90° कोण के सामने वाली भुजा को Hypotenuse कहते हैं।
(c) अधिककोण त्रिभुज (Obtuse-angled Triangle)
जिस त्रिभुज का एक कोण 90° से बड़ा हो।
त्रिभुज के प्रमुख प्रमेय (Important Theorems)
- 1. पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem):
समकोण त्रिभुज में, (Hypotenuse)² = (Base)² + (Perpendicular)²
उदाहरण: यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ 3 से.मी. और 4 से.मी. हैं, तो Hypotenuse = √(3² + 4²) = 5 से.मी. - 2. समानता प्रमेय (Similarity Theorem):
यदि दो त्रिभुजों के संबंधित कोण समान हों, तो उनकी भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
अर्थात् ΔABC ∼ ΔPQR ⇒ AB/PQ = BC/QR = AC/PR - 3. क्षेत्रफल अनुपात प्रमेय:
समान त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संबंधित भुजाओं के वर्ग के अनुपात के बराबर होता है।
(Area₁ / Area₂) = (Side₁ / Side₂)²
त्रिभुज के सूत्र
- क्षेत्रफल (Area): For right triangle: ½ × Base × Height
- Heron’s Formula:
यदि भुजाएँ a, b, c हों, तो
s = (a + b + c) / 2
Area = √[s(s – a)(s – b)(s – c)] - परिमाप (Perimeter): a + b + c
वास्तविक जीवन में उपयोग
- वास्तुकला और पुलों के डिज़ाइन में त्रिभुज संरचना का उपयोग स्थिरता के लिए किया जाता है।
- नेविगेशन, सर्वेक्षण और GPS तकनीक में त्रिभुज सिद्धांतों का उपयोग होता है।
- कंप्यूटर ग्राफिक्स और इंजीनियरिंग मॉडलिंग में प्रत्येक आकृति को छोटे त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है।
- समकोण त्रिभुज का उपयोग ढलान, सीढ़ी, और इमारतों की ऊँचाई मापने में किया जाता है।
सारांश
त्रिभुज गणित की सबसे बुनियादी लेकिन अत्यंत उपयोगी आकृति है। इसके विभिन्न प्रकार, प्रमेय और सूत्र न केवल गणित बल्कि भौतिकी, वास्तुकला और वास्तविक जीवन में भी अत्यधिक उपयोगी हैं।