Properties of Inverse Trigonometric Functions

Properties of Inverse Trigonometric Functions

Inverse trigonometric functions are used to find an angle when the value of a trigonometric ratio is known. उनके values को correctly evaluate करने के लिए principal value ranges और inverse trigonometric identities को समझना बहुत important है।

1. Basic Properties

For suitable values of x:

sin(sin⁻¹x) = x

cos(cos⁻¹x) = x

tan(tan⁻¹x) = x

cot(cot⁻¹x) = x

sec(sec⁻¹x) = x

cosec(cosec⁻¹x) = x

इन identities में inverse function के बाद उसी trigonometric function को apply करने पर original value वापस मिलती है।

2. Principal Value Ranges

Function	Principal Value Range
sin−1x	[−π/2, π/2]
cos−1x	[0, π]
tan−1x	(−π/2, π/2)
cot−1x	(0, π)
sec−1x	[0, π], excluding π/2
cosec−1x	[−π/2, π/2], excluding 0

किसी identity को solve करते समय principal value range को ध्यान में रखना जरूरी है। यही सबसे common जगह है जहाँ students गलती करते हैं।

3. sin⁻¹x + cos⁻¹x

For x ∈ [−1,1]:

sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2

इसका मतलब है कि यदि एक angle का sine x है, तो उसी x के लिए inverse sine और inverse cosine के principal values का sum हमेशा π/2 होगा।

Example

Evaluate:

sin⁻¹(1/2) + cos⁻¹(1/2)

We know:

sin⁻¹(1/2) = π/6

and

cos⁻¹(1/2) = π/3

Therefore:

π/6 + π/3 = π/2

4. tan⁻¹x + cot⁻¹x

For x ∈ R:

tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2

यहाँ दोनों inverse functions की principal value ranges को ध्यान में रखने पर यह result प्राप्त होता है।

Example

tan⁻¹(1) + cot⁻¹(1)

= π/4 + π/4

= π/2

5. Negative Argument Properties

For x ∈ [−1,1]:

sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹x

इसका अर्थ है कि inverse sine एक odd function है। Negative input देने पर result का sign भी negative हो जाता है।

Example

sin⁻¹(−1/2) = −sin⁻¹(1/2)

= −π/6

Similarly, for x ∈ R:

tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹x

and:

cot⁻¹(−x) = π − cot⁻¹x

ध्यान दें कि cot⁻¹x के लिए result, sin⁻¹x और tan⁻¹x की तरह simply negative नहीं होता क्योंकि cot⁻¹x की principal value range (0,π) है।

6. cos⁻¹(−x) Property

For x ∈ [−1,1]:

cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹x

यहाँ negative sign आने पर principal value range [0,π] के कारण result इस form में आता है।

Example

cos⁻¹(−1/2)

= π − cos⁻¹(1/2)

= π − π/3 = 2π/3

7. tan⁻¹x − tan⁻¹y

For suitable values of x and y:

tan⁻¹x − tan⁻¹y = tan⁻¹((x−y)/(1+xy))

लेकिन इस formula को directly हर situation में use नहीं किया जा सकता। Principal value range और denominator की condition को ध्यान में रखना जरूरी है।

8. tan⁻¹x + tan⁻¹y

When xy < 1:

tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹((x+y)/(1−xy))

जब xy > 1 हो, तो principal value range के कारण result में π का adjustment करना पड़ सकता है। इसलिए formula लगाने के बाद answer की range जरूर check करें।

Example

Evaluate:

tan⁻¹(1/2) + tan⁻¹(1/3)

Here:

xy = 1/6 < 1

Therefore:

= tan⁻¹((1/2+1/3)/(1−1/6))

= tan⁻¹((5/6)/(5/6))

= tan⁻¹(1)

= π/4

9. tan⁻¹x + tan⁻¹y When xy > 1

When x > 0, y > 0 and xy > 1:

tan⁻¹x + tan⁻¹y = π + tan⁻¹((x+y)/(1−xy))

क्योंकि 1−xy negative हो जाता है और simple tan⁻¹ expression principal range में correct angle नहीं देता। इसलिए π का adjustment आवश्यक हो सकता है।

10. Important Square-Root Identities

For x ∈ [−1,1]:

sin⁻¹x = cos⁻¹√(1−x²)

when the principal values are taken appropriately.

Similarly, for suitable x:

cos⁻¹x = sin⁻¹√(1−x²)

इन identities में square root की non-negative value और principal value range दोनों को ध्यान में रखना जरूरी है।

11. Important Conversion Properties

Some useful relationships are:

sin⁻¹x = tan^{−1>(x/√(1−x2))}

for x ∈ (−1,1).

Also:

cos⁻¹x = tan^{−1>(√(1−x2)/x)}

जहाँ domain और principal value conditions को ध्यान में रखना आवश्यक है। ऐसे questions में केवल formula याद करना पर्याप्त नहीं है; sign और quadrant भी check करना चाहिए।

12. Principal Value and Quadrants

Inverse trigonometric expressions में quadrant बहुत important होता है। यदि हमें tan θ का value पता है, तो केवल tan⁻¹ लगाने से हर बार original angle नहीं मिलेगा, क्योंकि same tangent value अलग-अलग quadrants में हो सकता है।

उदाहरण के लिए:

tan(3π/4) = −1

लेकिन:

tan⁻¹(−1) = −π/4

यहाँ 3π/4 original angle था, जबकि −π/4 principal value है। दोनों angles का tangent समान है।

13. Composition Properties

The following identities are fundamental:

sin(sin⁻¹x) = x

cos(cos⁻¹x) = x

tan(tan⁻¹x) = x

लेकिन reverse order में restrictions आती हैं:

sin⁻¹(sin x) ≠ x

cos⁻¹(cos x) ≠ x

tan⁻¹(tan x) ≠ x

for all real x.

Reverse composition में answer को corresponding principal value range में लाना पड़ता है।

14. Solved Example: Using sin⁻¹x + cos⁻¹x

Evaluate:

sin⁻¹(3/5) + cos⁻¹(3/5)

Using the property:

sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2

Therefore:

Answer = π/2

15. Solved Example: Negative Argument

Evaluate:

cos⁻¹(−√3/2)

We know:

cos(5π/6) = −√3/2

Since 5π/6 lies in [0,π], it is the principal value.

Therefore:

cos⁻¹(−√3/2) = 5π/6

16. Solved Example: Addition Formula

Evaluate:

tan⁻¹(1/2) + tan⁻¹(1/3)

Using:

tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹((x+y)/(1−xy))

Since:

(1/2)(1/3) = 1/6 < 1

we can directly apply the formula.

= tan⁻¹(1)

= π/4

17. Solved Example: Reverse Composition

Evaluate:

sin⁻¹(sin 7π/6)

Since:

sin 7π/6 = −1/2

Therefore:

sin⁻¹(−1/2) = −π/6

Hence:

sin⁻¹(sin 7π/6) = −π/6

7π/6 answer नहीं होगा क्योंकि वह sin⁻¹x की principal value range [−π/2,π/2] के बाहर है।

18. Common Mistakes

• sin⁻¹x को 1/sin x समझना गलत है।
• हर जगह sin⁻¹(sin x) = x लिखना गलत है।
• Principal value range को ignore करना गलत है।
• tan⁻¹x + tan⁻¹y में बिना condition check किए formula लगाना गलत हो सकता है।
• Negative argument में सभी inverse functions के लिए same sign rule नहीं होता।
• Answer को radians में लिखने वाले questions में degree और radian को mix नहीं करना चाहिए।

19. Important Properties at a Glance

Property	Result
Inverse sine-cosine	sin−1x + cos−1x = π/2
Inverse tangent-cotangent	tan−1x + cot−1x = π/2
Negative sine	sin−1(−x) = −sin−1x
Negative cosine	cos−1(−x) = π − cos−1x
Negative tangent	tan−1(−x) = −tan−1x
Negative cotangent	cot−1(−x) = π − cot−1x
Composition	sin(sin−1x) = x
Composition	cos(cos−1x) = x
Composition	tan(tan−1x) = x

20. Multiple Choice Questions

1. The value of sin⁻¹x + cos⁻¹x is:

1. 0
2. π
3. π/2
4. 2π

Answer: (c)

2. The value of tan⁻¹(−1) is:

1. π/4
2. −π/4
3. 3π/4
4. π

Answer: (b)

3. The value of cos⁻¹(−1/2) is:

1. π/3
2. −π/3
3. 2π/3
4. π/6

Answer: (c)

4. For x ∈ R, tan⁻¹x + cot⁻¹x equals:

1. 0
2. π/4
3. π/2
4. π

Answer: (c)

21. Fill in the Blanks

1. sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2.
2. tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2.
3. sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹x.
4. cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹x.
5. tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹x.

22. Practice Questions

1. Prove that sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2.
2. Prove that tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2.
3. Evaluate sin⁻¹(−1/2).
4. Evaluate cos⁻¹(−√3/2).
5. Evaluate tan⁻¹(−√3).
6. Evaluate tan⁻¹(1/2) + tan⁻¹(1/3).
7. Evaluate tan⁻¹(1) + tan⁻¹(1/2).
8. Evaluate sin⁻¹(sin 5π/6).
9. Evaluate cos⁻¹(cos 4π/3).
10. Explain the importance of principal values in inverse trigonometric functions.
11. State the principal value ranges of all six inverse trigonometric functions.
12. Explain why sin⁻¹(sin x) is not equal to x for every real x.

Quick Revision

sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2

tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2

sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹x

cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹x

tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹x

cot⁻¹(−x) = π − cot⁻¹x

Always check the principal value range before finalising the answer.