Acceleration and Equations of Motion

Acceleration and Equations of Motion

Acceleration (त्वरण) और Equations of Motion (गति के समीकरण) Class XI Physics के mechanics section के बहुत important concepts हैं। किसी moving object के velocity में समय के साथ होने वाले change को acceleration द्वारा describe किया जाता है। Constant acceleration की स्थिति में motion को तीन standard equations से describe किया जा सकता है।

Acceleration क्या है?

किसी वस्तु के velocity में time के साथ होने वाले rate of change को Acceleration (त्वरण) कहते हैं।

यदि किसी वस्तु की initial velocity u और final velocity v हो तथा velocity में यह change t time में हो, तो:

Acceleration = Change in Velocity / Time

a = (v - u) / t

जहाँ:

• a = Acceleration
• u = Initial Velocity
• v = Final Velocity
• t = Time

SI Unit of Acceleration

Velocity की SI unit m/s और time की SI unit s है। इसलिए acceleration की SI unit:

m/s ÷ s

= m/s²

= m s⁻²

अतः acceleration की SI unit metre per second square (m/s²) है।

Dimensional Formula of Acceleration

Acceleration = Velocity / Time

[Velocity] = [LT⁻¹]

[Time] = [T]

[Acceleration] = [LT⁻¹] / [T]

                = [LT⁻²]

इसलिए acceleration की dimensional formula [LT⁻²] है।

Positive Acceleration

जब velocity का magnitude time के साथ increase करता है, तो acceleration को सामान्यतः Positive Acceleration कहा जाता है।

u = 10 m/s
v = 20 m/s

Velocity बढ़ रही है।

Therefore, acceleration is positive.

Negative Acceleration

जब velocity का magnitude time के साथ decrease करता है, तो acceleration को सामान्यतः Negative Acceleration कहा जाता है। इसे Retardation (मंदन) या deceleration भी कहा जाता है।

u = 20 m/s
v = 10 m/s

Velocity घट रही है।

Therefore, acceleration is negative.

Uniform Acceleration

यदि किसी object की velocity समान time intervals में समान amount से change होती है, तो object Uniform Acceleration में है।

उदाहरण:

Velocity after every second:

0 s → 0 m/s
1 s → 5 m/s
2 s → 10 m/s
3 s → 15 m/s
4 s → 20 m/s

हर second velocity में 5 m/s का समान change हो रहा है। इसलिए acceleration uniform है।

Non-Uniform Acceleration

यदि equal time intervals में velocity का change unequal हो, तो acceleration Non-Uniform Acceleration कहलाता है।

Average Acceleration

किसी time interval में velocity के total change और उस time interval के ratio को Average Acceleration कहते हैं।

Average Acceleration

= Total Change in Velocity / Total Time

a_avg = (v₂ - v₁) / (t₂ - t₁)

Instantaneous Acceleration

किसी particular instant पर velocity के rate of change को Instantaneous Acceleration कहते हैं।

a = dv/dt

यह calculus की सहायता से acceleration को किसी specific instant पर express करता है।

Equations of Motion

जब कोई object straight line में uniform acceleration के साथ move करता है, तो उसके motion को तीन important equations से describe किया जा सकता है।

इन equations को Equations of Uniformly Accelerated Motion कहा जाता है।

First Equation of Motion

Acceleration की definition से:

a = (v - u) / t

दोनों sides को t से multiply करने पर:

at = v - u

इसलिए:

v = u + at

Second Equation of Motion

Uniform acceleration में average velocity:

Average Velocity = (u + v) / 2

Displacement:

s = Average Velocity × Time

s = [(u + v) / 2]t

First equation से:

v = u + at

इसे substitute करने पर:

s = [(u + u + at) / 2]t

s = [(2u + at) / 2]t

s = ut + ½at²

Third Equation of Motion

First equation:

v = u + at

इससे:

t = (v - u) / a

Second equation:

s = [(u + v) / 2]t

अब t का value substitute करने पर:

s = [(u + v) / 2] × [(v - u) / a]

2as = (u + v)(v - u)

2as = v² - u²

अतः:

v² = u² + 2as

Three Equations of Motion at a Glance

Equation	Formula	Useful When
First	v = u + at	s is not required
Second	s = ut + ½at²	v is not required
Third	v² = u² + 2as	t is not required

How to Choose the Correct Equation?

Numerical problems में सबसे पहले दिए गए quantities को identify करना चाहिए। इसके बाद ऐसी equation चुनें जिसमें केवल known quantities और required quantity शामिल हों।

Known/Required Information	Suitable Equation
u, a, t और v	v = u + at
u, a, t और s	s = ut + ½at²
u, a, s और v	v² = u² + 2as

Special Case: Object Starts from Rest

यदि object rest से start करता है, तो उसकी initial velocity:

u = 0

First equation:

v = at

Second equation:

s = ½at²

Third equation:

v² = 2as

Special Case: Uniform Velocity

यदि acceleration zero है:

a = 0

First equation:

v = u

अर्थात velocity constant रहती है।

Displacement:

s = ut

Graphical Interpretation

Equations of motion को velocity-time graph की सहायता से भी understand किया जा सकता है। Uniform acceleration के लिए velocity-time graph एक straight line होता है।

Velocity-Time Relation

v = u + at

यह equation बताती है कि uniform acceleration में velocity time के साथ linearly change करती है।

Displacement from Velocity-Time Graph

Velocity-time graph के नीचे का area displacement को represent करता है।

Uniform acceleration के लिए graph के नीचे का area trapezium के बराबर होता है:

s = ½(u + v)t

यह second equation तक पहुँचने का एक graphical method है।

Numerical Example 1

Question: एक car rest से start करती है और 2 m/s² के uniform acceleration से 5 seconds तक चलती है। उसकी final velocity ज्ञात कीजिए।

Given:

u = 0
a = 2 m/s²
t = 5 s

First equation:

v = u + at

v = 0 + (2 × 5)

v = 10 m/s

Answer: Final velocity = 10 m/s.

Numerical Example 2

Question: एक object की initial velocity 10 m/s है और acceleration 2 m/s² है। 5 seconds में displacement ज्ञात कीजिए।

Given:

u = 10 m/s
a = 2 m/s²
t = 5 s

Second equation:

s = ut + ½at²

s = (10 × 5) + ½(2)(5²)

s = 50 + 25

s = 75 m

Answer: Displacement = 75 m.

Numerical Example 3

Question: एक car की initial velocity 5 m/s है। वह 3 m/s² के acceleration से 20 m की दूरी तय करती है। उसकी final velocity ज्ञात कीजिए।

Given:

u = 5 m/s
a = 3 m/s²
s = 20 m

यहाँ time नहीं दिया गया है, इसलिए third equation use करेंगे:

v² = u² + 2as

v² = 5² + 2(3)(20)

v² = 25 + 120

v² = 145

v = √145 m/s

v ≈ 12.04 m/s

Answer: Final velocity ≈ 12.04 m/s.

Acceleration Due to Gravity

जब कोई object Earth के gravitational field में freely fall करता है, तो उसके acceleration को Acceleration Due to Gravity कहते हैं। इसे g से represent किया जाता है।

Earth की surface के near इसका approximate value:

g ≈ 9.8 m/s²

Numerical problems में कई बार:

g ≈ 10 m/s²

भी लिया जाता है, यदि question में specifically ऐसा दिया गया हो या approximation अपेक्षित हो।

Equations for Freely Falling Bodies

यदि object को rest से छोड़ा जाता है और downward direction को positive माना जाता है, तो:

u = 0
a = g

इसलिए:

v = gt

s = ½gt²

v² = 2gs

Difference Between Speed and Acceleration

Speed	Acceleration
Distance covered per unit time.	Velocity change per unit time.
Scalar quantity है।	Vector quantity है।
SI unit m/s है।	SI unit m/s² है।

Important Formulae

Acceleration:

a = (v - u) / t


First Equation:

v = u + at


Second Equation:

s = ut + ½at²


Third Equation:

v² = u² + 2as


Average Velocity:

v_avg = (u + v) / 2


Displacement:

s = ½(u + v)t

Important Points

• Acceleration velocity के rate of change को कहते हैं।
• Acceleration की SI unit m/s² है।
• Acceleration की dimensional formula [LT⁻²] है।
• Uniform acceleration में equal time intervals में equal velocity change होता है।
• Negative acceleration को retardation या deceleration भी कहा जाता है।
• First equation of motion: v = u + at.
• Second equation of motion: s = ut + ½at².
• Third equation of motion: v² = u² + 2as.
• Rest से start करने पर u = 0 होता है।
• Uniform velocity के लिए acceleration zero होता है।
• Velocity-time graph के नीचे का area displacement देता है।
• Uniform acceleration में velocity-time graph straight line होता है।
• Acceleration due to gravity को g से denote करते हैं।
• Earth की surface के near g का approximate value 9.8 m/s² है।

Board Focus

Board Important Questions

Very Short Answer Questions

Q1. Acceleration क्या है?

Answer: Velocity के time के साथ rate of change को Acceleration कहते हैं।

Q2. Acceleration की SI unit क्या है?

Answer: m/s².

Q3. Acceleration की dimensional formula क्या है?

Answer: [LT⁻²].

Q4. First equation of motion लिखिए।

Answer: v = u + at.

Q5. Second equation of motion लिखिए।

Answer: s = ut + ½at².

Q6. Third equation of motion लिखिए।

Answer: v² = u² + 2as.

Q7. Rest से शुरू करने पर initial velocity कितनी होती है?

Answer: u = 0.

Q8. Retardation क्या है?

Answer: Velocity के magnitude के decrease की स्थिति में opposite-direction acceleration को Retardation या Deceleration कहते हैं।

Q9. Acceleration due to gravity को किस symbol से represent करते हैं?

Answer: g.

Q10. Earth की surface के near g का approximate value क्या है?

Answer: 9.8 m/s².

Short Answer Questions

Q11. Uniform और Non-Uniform Acceleration में अंतर बताइए।

Answer: Uniform acceleration में equal time intervals में velocity का equal change होता है। Non-uniform acceleration में equal time intervals में velocity का change unequal होता है।

Q12. Average Acceleration और Instantaneous Acceleration क्या हैं?

Answer: किसी time interval में velocity के total change और total time के ratio को average acceleration कहते हैं। किसी particular instant पर velocity के rate of change को instantaneous acceleration कहते हैं।

Q13. Equations of Motion किन conditions में valid होती हैं?

Answer: Standard equations of motion straight-line motion में constant या uniform acceleration की condition के लिए valid होती हैं।

Q14. Velocity-time graph का area क्या represent करता है?

Answer: Velocity-time graph के नीचे का area displacement को represent करता है।

Q15. यदि object rest से uniformly accelerate करता है, तो equations of motion लिखिए।

Answer: Rest से शुरू करने पर u = 0 होता है। इसलिए equations हैं:

v = at

s = ½at²

v² = 2as

Long Answer Questions

Q16. तीनों equations of motion derive कीजिए।

Answer: Uniform acceleration के लिए acceleration की definition से:

a = (v - u)/t

Therefore:

v = u + at

यह first equation है।

Average velocity:

v_avg = (u + v)/2

इसलिए:

s = [(u + v)/2]t

Using v = u + at:

s = ut + ½at²

यह second equation है।

अब:

t = (v - u)/a

इसे displacement equation में substitute करने पर:

2as = v² - u²

Therefore:

v² = u² + 2as

यह third equation है।

Q17. Acceleration due to gravity को समझाइए और freely falling body के लिए equations लिखिए।

Answer: Earth के gravitational field के कारण freely falling body में उत्पन्न acceleration को acceleration due to gravity कहते हैं। इसे g से represent किया जाता है और Earth की surface के near इसका approximate value 9.8 m/s² है। यदि body rest से fall करती है और downward direction को positive माना जाए, तो u = 0 और a = g होगा। इसलिए equations हैं:

v = gt

s = ½gt²

v² = 2gs

Q18. Velocity-time graph की सहायता से displacement का expression प्राप्त कीजिए।

Answer: Uniform acceleration में velocity-time graph एक straight line होता है। Graph के नीचे का area displacement के बराबर होता है। Initial velocity u और final velocity v होने पर graph के नीचे का area trapezium के बराबर होगा:

s = ½(u + v)t

इस expression को first equation के साथ combine करने पर second equation of motion प्राप्त की जा सकती है:

s = ut + ½at²

Practice Questions

1. Acceleration की परिभाषा और SI unit लिखिए।
2. Acceleration की dimensional formula ज्ञात कीजिए।
3. Uniform acceleration क्या है?
4. Non-uniform acceleration क्या है?
5. Retardation क्या है?
6. Average acceleration का formula लिखिए।
7. Instantaneous acceleration क्या है?
8. तीनों equations of motion लिखिए।
9. First equation of motion derive कीजिए।
10. Second equation of motion derive कीजिए।
11. Third equation of motion derive कीजिए।
12. Rest से शुरू करने पर equations of motion लिखिए।
13. Velocity-time graph के area का physical meaning क्या है?
14. Uniform velocity के लिए acceleration कितना होगा?
15. Acceleration due to gravity क्या है?
16. g का approximate value लिखिए।
17. एक body rest से 4 m/s² के acceleration से 5 s तक चलती है। Final velocity ज्ञात कीजिए।
18. एक car 10 m/s की velocity से चल रही है और 2 m/s² से accelerate करती है। 5 s में displacement ज्ञात कीजिए।
19. एक object 20 m/s की initial velocity से 5 m/s² के retardation के साथ चलता है। 3 s बाद velocity ज्ञात कीजिए।
20. एक body 10 m/s की velocity से चल रही है और 2 m/s² के acceleration से 25 m distance तय करती है। Final velocity ज्ञात कीजिए।

Quick Revision

• Acceleration: Velocity का rate of change.
• SI Unit: m/s².
• Dimension: [LT⁻²].
• First Equation: v = u + at.
• Second Equation: s = ut + ½at².
• Third Equation: v² = u² + 2as.
• Rest: u = 0.
• Uniform Velocity: a = 0.
• Average Acceleration: Δv/Δt.
• Instantaneous Acceleration: dv/dt.
• Gravity: g ≈ 9.8 m/s² near Earth's surface.
• Velocity-Time Graph Area: Displacement.
• Uniform Acceleration: Equal time intervals में equal change in velocity.

```