Centre of Mass

Centre of Mass

Centre of Mass (द्रव्यमान केंद्र) Class 11 Physics का एक महत्वपूर्ण topic है। इसके द्वारा हम किसी system of particles (कणों के तंत्र) की पूरी motion को एक single point के motion के रूप में समझ सकते हैं।

1. Centre of Mass क्या है?

किसी system के particles के mass और उनकी positions के weighted average (भारित औसत) से प्राप्त point को Centre of Mass कहते हैं।

यह जरूरी नहीं है कि Centre of Mass वास्तव में system के अंदर ही स्थित हो।

2. Centre of Mass of Two Particles

मान लें दो particles के masses m₁ और m₂ हैं तथा उनके position coordinates क्रमशः x₁ और x₂ हैं।

Centre of Mass का x-coordinate:

x_cm = (m₁x₁ + m₂x₂) / (m₁ + m₂)

इसी प्रकार y-coordinate:

y_cm = (m₁y₁ + m₂y₂) / (m₁ + m₂)

और z-coordinate:

z_cm = (m₁z₁ + m₂z₂) / (m₁ + m₂)

3. Vector Form

Centre of Mass का position vector:

R_cm = (m₁r₁ + m₂r₂) / (m₁ + m₂)

जहाँ r₁ और r₂ दोनों particles के position vectors हैं।

4. Centre of Mass of a System of Particles

यदि किसी system में n particles हैं, तो:

R_cm = (m₁r₁ + m₂r₂ + ... + m_nr_n) / (m₁ + m₂ + ... + m_n)

संक्षेप में:

R_cm = Σm_ir_i / Σm_i

5. Centre of Mass in One Dimension

एक straight line पर स्थित particles के लिए:

x_cm = Σm_ix_i / Σm_i

यह formula board के numerical problems में बहुत उपयोगी है।

6. Special Case: Equal Masses

यदि दो particles के masses समान हैं, अर्थात:

m₁ = m₂

तो Centre of Mass दोनों particles के बीच के midpoint (मध्य-बिंदु) पर होगा।

x_cm = (x₁ + x₂) / 2

7. Unequal Masses

यदि दो particles के masses unequal हैं, तो Centre of Mass heavier mass (अधिक द्रव्यमान) के closer होता है।

उदाहरण के लिए, यदि m₂ > m₁, तो Centre of Mass particle 2 के अधिक निकट होगा।

8. Centre of Mass और Internal Forces

किसी system के particles एक-दूसरे पर internal forces लगाते हैं। ये internal forces पूरे system के Centre of Mass की motion को अकेले नहीं बदल सकते।

Centre of Mass की motion मुख्यतः system पर लगने वाले external force से निर्धारित होती है।

F_ext = M a_cm

जहाँ:

• F_ext = Net external force
• M = Total mass of system
• a_cm = Acceleration of Centre of Mass

9. Motion of Centre of Mass

यदि किसी system पर net external force zero है:

F_ext = 0

तो:

a_cm = 0

इस स्थिति में Centre of Mass constant velocity से move करेगा। यदि वह पहले rest में था, तो rest में ही रहेगा।

10. Velocity of Centre of Mass

यदि particles की velocities v₁, v₂, ... हैं, तो Centre of Mass की velocity:

V_cm = (m₁v₁ + m₂v₂ + ... ) / M

या:

V_cm = Σm_iv_i / M

जहाँ:

M = Σm_i

11. Momentum और Centre of Mass

पूरे system का total momentum Centre of Mass की velocity से संबंधित होता है:

P = M V_cm

जहाँ P system का total linear momentum है।

इसलिए:

V_cm = P/M

12. Acceleration of Centre of Mass

Centre of Mass की velocity का time के साथ rate of change उसकी acceleration कहलाती है:

a_cm = dV_cm/dt

Newton's Second Law के अनुसार:

F_ext = M a_cm

अर्थात पूरे system की Centre of Mass motion को ऐसे समझा जा सकता है जैसे total mass M पर net external force लगाया गया हो।

13. Centre of Mass of a Uniform Rod

एक uniform (समान रूप से वितरित mass वाली) straight rod का Centre of Mass उसके geometric centre (ज्यामितीय केंद्र) पर होता है।

यदि rod की length L है और उसका एक end origin पर है, तो:

x_cm = L/2

14. Centre of Mass of Symmetrical Bodies

Uniform और symmetrical bodies में Centre of Mass सामान्यतः उनके symmetry (सममिति) के centre पर होता है।

Body	Centre of Mass
Uniform Rod	Geometrical centre
Uniform Disc	Centre of disc
Uniform Ring	Centre of ring
Uniform Sphere	Centre of sphere
Uniform Rectangular Plate	Intersection of diagonals

15. Centre of Mass और Centre of Gravity

Centre of Mass mass distribution पर आधारित होता है, जबकि Centre of Gravity वह point है जहाँ वस्तु का पूरा weight concentrated माना जा सकता है।

Uniform gravitational field में किसी body का Centre of Mass और Centre of Gravity एक ही point पर हो सकता है।

Centre of Mass	Centre of Gravity
Mass distribution पर आधारित है।	Weight distribution पर आधारित है।
Gravity की आवश्यकता नहीं होती।	Gravitational field से संबंधित है।
पूरे system के mass का weighted average point है।	जहाँ पूरे body का weight concentrated माना जाता है।

16. Centre of Mass का Numerical Example

दो particles के masses 2 kg और 3 kg हैं। वे क्रमशः x = 0 m और x = 10 m पर स्थित हैं। Centre of Mass:

x_cm = (2 × 0 + 3 × 10)/(2 + 3)

x_cm = 30/5 = 6 m

अतः Centre of Mass origin से 6 m की दूरी पर होगा।

17. Important Formulae

Quantity	Formula
Centre of Mass	Rcm = Σmiri / Σmi
x-coordinate	xcm = Σmixi / Σmi
Velocity of COM	Vcm = Σmivi / M
Momentum Relation	P = MVcm
Acceleration of COM	acm = Fext/M
External Force	Fext = Macm
Uniform Rod	xcm = L/2

18. Important Points

• Centre of Mass पूरे system के mass distribution का weighted average point है।
• Centre of Mass जरूरी नहीं कि body के अंदर ही हो।
• Heavier particle के Centre of Mass के closer होने की tendency होती है।
• Equal masses के लिए Centre of Mass midpoint पर होता है।
• Uniform symmetrical body का Centre of Mass उसके geometrical centre पर होता है।
• Centre of Mass की motion net external force से निर्धारित होती है।
• F_ext = Ma_cm
• P = MV_cm
• यदि net external force zero है, तो Centre of Mass constant velocity से move करता है।
• Internal forces Centre of Mass की overall motion को change नहीं कर सकते।

19. Board Focus

20. Board Important Questions

1. Centre of Mass को परिभाषित कीजिए।
2. दो कणों के निकाय के Centre of Mass का expression प्राप्त कीजिए।
3. System of particles के Centre of Mass का vector expression लिखिए।
4. Centre of Mass की velocity का expression प्राप्त कीजिए।
5. सिद्ध कीजिए कि P = MV_cm।
6. सिद्ध कीजिए कि F_ext = Ma_cm।
7. यदि किसी system पर external force zero हो, तो उसके Centre of Mass की motion कैसी होगी?
8. Centre of Mass और Centre of Gravity में अंतर लिखिए।
9. Uniform rod के Centre of Mass की स्थिति बताइए।
10. दो unequal masses के system का Centre of Mass heavier mass के निकट क्यों होता है?

21. Practice Questions

1. दो particles के masses 2 kg और 4 kg हैं तथा वे x = 0 m और x = 6 m पर स्थित हैं। Centre of Mass ज्ञात कीजिए।
2. दो समान masses 10 m की दूरी पर रखे गए हैं। उनका Centre of Mass कहाँ होगा?
3. एक 5 kg की वस्तु की velocity 4 m/s है और दूसरी 3 kg की वस्तु की velocity 2 m/s है। यदि दोनों एक ही दिशा में चल रही हैं, तो Centre of Mass की velocity ज्ञात कीजिए।
4. किसी system का total mass 10 kg है और उस पर 20 N का external force कार्य कर रहा है। Centre of Mass की acceleration ज्ञात कीजिए।
5. एक uniform rod की length 2 m है। यदि उसका एक end origin पर है, तो उसका Centre of Mass कहाँ होगा?

22. Quick Revision

• Centre of Mass: Mass distribution का weighted average point.
• Position: R_cm = Σm_ir_i/M
• Velocity: V_cm = Σm_iv_i/M
• Momentum: P = MV_cm
• Acceleration: a_cm = F_ext/M
• Equal Masses: COM = Midpoint
• Uniform Rod: COM = L/2
• Zero External Force: a_cm = 0

One-Line Revision

The centre of mass is the mass-weighted average position of a system, and its motion is governed by the net external force acting on the system.