Work-Energy Theorem and Conservation of Energy

Work-Energy Theorem and Conservation of Energy

Work-Energy Theorem (कार्य-ऊर्जा प्रमेय) और Conservation of Energy (ऊर्जा संरक्षण) Class 11 Physics के महत्वपूर्ण concepts हैं। इनके द्वारा हम समझते हैं कि किसी वस्तु पर किया गया work उसकी kinetic energy को कैसे बदलता है और energy एक रूप से दूसरे रूप में कैसे परिवर्तित होती है।

1. Work-Energy Theorem (कार्य-ऊर्जा प्रमेय)

Work-Energy Theorem के अनुसार, किसी वस्तु पर किए गए net work के बराबर उसकी kinetic energy में परिवर्तन होता है।

W_net = ΔK

अर्थात:

W_net = K_f − K_i

जहाँ:

• K_i = Initial Kinetic Energy (प्रारम्भिक गतिज ऊर्जा)
• K_f = Final Kinetic Energy (अंतिम गतिज ऊर्जा)

2. Mathematical Derivation of Work-Energy Theorem

मान लें किसी वस्तु का mass m है। उसकी प्रारम्भिक velocity u और अंतिम velocity v है। वस्तु पर constant force F लगाया जाता है।

Newton's Second Law के अनुसार:

F = ma

Work done:

W = Fs

Equation of motion से:

v² − u² = 2as

इससे:

s = (v² − u²) / 2a

अतः:

W = ma × (v² − u²)/2a

W = ½m(v² − u²)

अर्थात:

W = ½mv² − ½mu²

लेकिन:

K_f = ½mv²

K_i = ½mu²

इसलिए:

W = K_f − K_i

∴ W_net = ΔK

3. Work और Kinetic Energy का संबंध

Net Work	Effect on Kinetic Energy
Positive	Kinetic Energy बढ़ती है
Negative	Kinetic Energy घटती है
Zero	Kinetic Energy में कोई परिवर्तन नहीं

4. Example of Work-Energy Theorem

यदि किसी वस्तु की प्रारम्भिक kinetic energy 100 J है और उस पर 50 J का net work किया जाता है, तो:

K_f = K_i + W_net

K_f = 100 + 50 = 150 J

अतः वस्तु की अंतिम kinetic energy 150 J होगी।

5. Conservative Force (संरक्षी बल)

ऐसा force जिसके द्वारा किया गया work केवल initial और final positions पर depend करता है, path पर नहीं, उसे Conservative Force कहते हैं।

Examples:

• Gravitational Force (गुरुत्वाकर्षण बल)
• Electrostatic Force (स्थिर वैद्युत बल)
• Spring Force (स्प्रिंग बल)

Conservative force के लिए:

W = −ΔU

6. Non-Conservative Force

ऐसा force जिसके द्वारा किया गया work path पर depend करता है, उसे Non-Conservative Force कहते हैं।

Example: Friction (घर्षण)

Friction के कारण mechanical energy का कुछ भाग heat energy में परिवर्तित हो जाता है।

7. Conservation of Energy (ऊर्जा संरक्षण का नियम)

Law of Conservation of Energy के अनुसार:

Energy can neither be created nor destroyed; it can only be transformed from one form to another.

अर्थात ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है। यह केवल एक form से दूसरी form में transform (परिवर्तित) होती है।

8. Total Energy

किसी isolated system (पृथक तंत्र) की total energy हमेशा constant रहती है।

E_total = Constant

Mechanical system में:

E = K + U

अर्थात:

½mv² + U = Constant

9. Conservation of Mechanical Energy

यदि किसी system पर केवल conservative forces कार्य कर रहे हों, तो उसकी total mechanical energy constant रहती है।

K + U = Constant

दो positions के लिए:

K₁ + U₁ = K₂ + U₂

10. Falling Body और Energy Conservation

मान लें mass m की वस्तु को height h से rest से छोड़ा जाता है।

Initial Position

प्रारम्भ में:

K = 0

U = mgh

अतः:

E = mgh

During Falling

जैसे-जैसे वस्तु नीचे आती है, उसकी height कम होती जाती है। इसलिए potential energy घटती है और kinetic energy बढ़ती है।

किसी भी intermediate position पर:

K + U = Constant

Just Before Ground

Ground के ठीक ऊपर:

U ≈ 0

इसलिए पूरी energy kinetic energy के रूप में होती है:

K ≈ mgh

इससे:

½mv² = mgh

अतः:

v = √(2gh)

11. Energy Transformation (ऊर्जा का रूपांतरण)

ऊर्जा विभिन्न forms में बदल सकती है। उदाहरण:

Situation	Energy Transformation
ऊँचाई से गिरती वस्तु	Potential Energy → Kinetic Energy
ऊपर फेंकी गई वस्तु	Kinetic Energy → Potential Energy
Electric Bulb	Electrical Energy → Light + Heat Energy
Electric Motor	Electrical Energy → Mechanical Energy
Friction	Mechanical Energy → Heat Energy
Battery	Chemical Energy → Electrical Energy

12. Energy Conservation with Friction

यदि friction उपस्थित है, तो mechanical energy constant नहीं रहती। लेकिन total energy फिर भी conserved रहती है।

उदाहरण के लिए, friction के कारण mechanical energy का कुछ भाग heat energy में बदल जाता है।

Initial Mechanical Energy = Final Mechanical Energy + Heat Energy

13. Work-Energy Theorem और Conservation of Energy में अंतर

Work-Energy Theorem	Conservation of Energy
Net work और kinetic energy के परिवर्तन का संबंध बताता है।	Total energy के conservation को बताता है।
Wnet = ΔK	Etotal = Constant
मुख्यतः kinetic energy पर focus करता है।	Energy के सभी forms को consider करता है।
Dynamics और motion problems में उपयोगी।	Energy transformation और system analysis में उपयोगी।

14. Important Formulae

Concept	Formula
Work-Energy Theorem	Wnet = ΔK
Kinetic Energy	K = ½mv²
Change in Kinetic Energy	ΔK = ½m(v² − u²)
Potential Energy	U = mgh
Mechanical Energy	E = K + U
Conservation of Mechanical Energy	K1 + U1 = K2 + U2
Conservative Force	W = −ΔU
Velocity of Falling Body	v = √(2gh)

15. Important Points

• Net work done on a body equals the change in its kinetic energy.
• W_net = ΔK Work-Energy Theorem का मुख्य equation है।
• Positive net work kinetic energy को बढ़ाता है।
• Negative net work kinetic energy को घटाता है।
• Conservative force के लिए work path-independent होता है।
• Conservative force के लिए W = −ΔU होता है।
• Total energy हमेशा conserved रहती है।
• Mechanical energy केवल conservative system में constant रहती है।
• Friction mechanical energy को thermal energy में बदल सकता है।
• Energy transformation में energy का कुल amount conserved रहता है।

16. Board Focus

17. Board Important Questions

1. Work-Energy Theorem को लिखिए तथा सिद्ध कीजिए।
2. Work-Energy Theorem क्या है? इसका mathematical expression लिखिए।
3. किसी वस्तु की kinetic energy में परिवर्तन और net work के बीच संबंध स्थापित कीजिए।
4. ऊर्जा संरक्षण का नियम लिखिए और समझाइए।
5. यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम समझाइए।
6. Conservative और Non-Conservative forces में अंतर लिखिए।
7. एक स्वतंत्र रूप से गिरती हुई वस्तु में mechanical energy के conservation को समझाइए।
8. Friction की उपस्थिति में mechanical energy का क्या होता है?
9. Potential energy और kinetic energy के बीच होने वाले transformation को उदाहरण सहित समझाइए।
10. सिद्ध कीजिए कि ऊँचाई h से गिरती हुई वस्तु का ground के ठीक पहले वेग v = √(2gh) होता है।

18. Practice Questions

1. एक वस्तु की प्रारम्भिक kinetic energy 200 J है। उस पर 80 J का net work किया जाता है। उसकी अंतिम kinetic energy ज्ञात कीजिए।
2. 2 kg की वस्तु 5 m/s की velocity से चल रही है। उसकी kinetic energy ज्ञात कीजिए।
3. एक 2 kg की वस्तु को 10 m की ऊँचाई पर रखा गया है। g = 10 m/s² लेने पर उसकी potential energy ज्ञात कीजिए।
4. एक वस्तु को 20 m की ऊँचाई से rest से गिराया जाता है। g = 10 m/s² लेकर ground के ठीक पहले उसका velocity ज्ञात कीजिए।
5. यदि किसी वस्तु पर net work zero है, तो उसकी kinetic energy में क्या परिवर्तन होगा?

19. Quick Revision

• Work-Energy Theorem: W_net = ΔK
• Kinetic Energy: K = ½mv²
• Potential Energy: U = mgh
• Mechanical Energy: E = K + U
• Conservation: E_total = Constant
• Mechanical Energy Conservation: K₁ + U₁ = K₂ + U₂
• Conservative Force: W = −ΔU
• Falling Body: v = √(2gh)

One-Line Revision

Net work done on a body changes its kinetic energy, while the total energy of an isolated system remains conserved and only changes from one form to another.