Projectile Motion and Uniform Circular Motion

Projectile Motion and Uniform Circular Motion

जब किसी वस्तु (Object) को किसी प्रारंभिक वेग (Initial Velocity) से क्षैतिज (Horizontal) के साथ एक कोण पर फेंका जाता है और वह केवल गुरुत्वाकर्षण (Gravity) के प्रभाव में गति करती है, तो उसकी गति को Projectile Motion (प्रक्षेप्य गति) कहते हैं।

इसी प्रकार, जब कोई वस्तु वृत्ताकार पथ (Circular Path) पर नियत चाल (Constant Speed) से गति करती है, तो उसे Uniform Circular Motion (एकसमान वृत्तीय गति) कहते हैं।

1. Projectile Motion क्या है?

किसी वस्तु को पृथ्वी की सतह के पास एक प्रारंभिक वेग u से कोण θ पर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध (Air Resistance) को नगण्य मानने पर वस्तु की गति को Projectile Motion कहते हैं।

Projectile पर केवल गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है और उसका त्वरण नीचे की ओर g होता है।

2. Projectile Motion में Velocity के Components

यदि projectile को प्रारंभिक वेग u से horizontal के साथ θ कोण पर फेंका जाए, तो प्रारंभिक velocity को दो components में resolve किया जाता है:

Horizontal Component:

u_x = u cos θ

Vertical Component:

u_y = u sin θ

3. Horizontal Motion

Projectile Motion में horizontal direction में कोई acceleration नहीं होता, यदि air resistance को neglect किया जाए। इसलिए horizontal velocity constant रहती है।

a_x = 0

v_x = u cos θ

समय t में horizontal displacement:

x = (u cos θ)t

4. Vertical Motion

Vertical direction में projectile पर gravitational acceleration कार्य करता है।

a_y = -g

समय t पर vertical velocity:

v_y = u sin θ - gt

Vertical displacement:

y = (u sin θ)t - ½gt²

5. Equation of Trajectory

Projectile के path को उसकी Trajectory (प्रक्षेप पथ) कहते हैं।

Projectile Motion की trajectory का equation:

y = x tan θ - (gx²)/(2u² cos² θ)

6. Time of Flight

Projectile द्वारा हवा में बिताए गए कुल समय को Time of Flight (उड़ान का समय) कहते हैं।

जब projectile उसी horizontal level पर वापस आता है जहाँ से उसे फेंका गया था:

T = (2u sin θ)/g

जहाँ:

• T = Time of Flight
• u = Initial Velocity
• θ = Angle of Projection
• g = Acceleration due to Gravity

7. Maximum Height

Projectile द्वारा प्राप्त अधिकतम vertical height को Maximum Height (अधिकतम ऊँचाई) कहते हैं।

Maximum height:

H = (u² sin² θ)/(2g)

Maximum height पर vertical velocity:

v_y = 0

8. Horizontal Range

Projectile द्वारा प्रारंभिक और अंतिम बिंदु के बीच तय की गई horizontal दूरी को Horizontal Range (क्षैतिज परास) कहते हैं।

R = (u² sin 2θ)/g

जहाँ R projectile की horizontal range है।

9. Maximum Horizontal Range

Range का maximum value तब प्राप्त होता है जब:

θ = 45°

क्योंकि:

sin 2θ = 1

अतः maximum range:

R_max = u²/g

10. Important Projectile Formulae

Quantity	Formula
Horizontal Velocity	u cos θ
Vertical Velocity	u sin θ
Horizontal Displacement	x = u cos θ × t
Vertical Displacement	y = u sin θ × t − ½gt²
Time of Flight	T = 2u sin θ/g
Maximum Height	H = u² sin²θ/2g
Horizontal Range	R = u² sin2θ/g
Maximum Range	Rmax = u²/g

11. Important Properties of Projectile Motion

• Projectile Motion दो-dimensional motion है।
• Horizontal acceleration zero होता है।
• Vertical acceleration g के बराबर नीचे की ओर होता है।
• Horizontal velocity constant रहती है।
• Vertical velocity समय के साथ बदलती है।
• Trajectory parabolic होती है।
• Maximum height पर vertical component of velocity zero होता है।
• Maximum range के लिए angle of projection 45° होता है।
• यदि projectile समान level पर वापस आता है, तो Time of Ascent = Time of Descent होता है।

12. Uniform Circular Motion

जब कोई वस्तु किसी circular path पर constant speed से गति करती है, तो उसकी गति को Uniform Circular Motion कहते हैं।

उदाहरण:

• वृत्ताकार पथ पर घूमता हुआ पत्थर
• घड़ी की सुई की गति
• एक समान गति से घूमता हुआ fan blade
• वृत्ताकार कक्षा में घूमता satellite

13. Angular Displacement

किसी circular path पर वस्तु द्वारा तय किया गया कोणीय परिवर्तन Angular Displacement (कोणीय विस्थापन) कहलाता है। इसे सामान्यतः θ से दर्शाया जाता है।

यदि arc length s और radius r है, तो:

θ = s/r

SI unit: radian (rad)

14. Angular Velocity

Angular displacement के change की rate को Angular Velocity (कोणीय वेग) कहते हैं।

ω = dθ/dt

यदि angular velocity constant हो:

ω = θ/t

SI unit: rad/s

15. Relation Between Linear and Angular Velocity

Uniform Circular Motion में linear velocity v और angular velocity ω के बीच संबंध:

v = rω

जहाँ:

• v = Linear velocity
• r = Radius of circular path
• ω = Angular velocity

16. Time Period and Frequency

Time Period (आवर्तकाल): वस्तु द्वारा एक complete revolution पूरा करने में लिया गया समय।

इसे T से दर्शाते हैं।

Frequency (आवृत्ति): एक second में किए गए complete revolutions की संख्या।

f = 1/T

एक complete revolution के लिए angular displacement:

θ = 2π rad

इसलिए:

ω = 2π/T = 2πf

17. Centripetal Acceleration

Uniform Circular Motion में velocity की direction लगातार बदलती है। Velocity में इस परिवर्तन के कारण वस्तु में एक acceleration होता है, जिसे Centripetal Acceleration (अभिकेन्द्रीय त्वरण) कहते हैं।

इसकी दिशा हमेशा circular path के centre की ओर होती है।

a_c = v²/r

क्योंकि v = rω, इसलिए:

a_c = rω²

18. Centripetal Force

वह net force जो किसी वस्तु को circular path पर बनाए रखता है, Centripetal Force (अभिकेन्द्रीय बल) कहलाता है।

F_c = mv²/r

या:

F_c = mrω²

यह कोई अलग प्रकार का force नहीं है। यह किसी वास्तविक बल का ही inward component या resultant हो सकता है, जैसे tension, friction या gravitational force।

19. Uniform Circular Motion में Velocity

Circular motion में किसी भी point पर instantaneous velocity की direction उस point पर circular path की tangent के along होती है।

इसलिए:

• Velocity की direction → Tangential
• Centripetal acceleration की direction → Centre की ओर
• Centripetal force की direction → Centre की ओर

20. Projectile Motion और Uniform Circular Motion में अंतर

Projectile Motion	Uniform Circular Motion
Motion सामान्यतः parabolic path पर होती है	Motion circular path पर होती है
Gravity मुख्य acceleration प्रदान करता है	Centripetal acceleration centre की ओर होता है
Horizontal velocity constant हो सकती है	Velocity की direction लगातार बदलती है
Speed सामान्यतः बदलती रहती है	Speed constant रहती है
दो-dimensional motion	Path circular होता है

21. Numerical Example – Projectile Motion

Question: एक projectile को 20 m/s के प्रारंभिक वेग से 30° के angle पर फेंका जाता है। यदि g = 10 m/s² हो, तो उसका Time of Flight ज्ञात कीजिए।

Solution:

Formula:

T = 2u sin θ/g

यहाँ:

u = 20 m/s, θ = 30°, g = 10 m/s²

T = (2 × 20 × sin 30°)/10

T = (40 × 1/2)/10 = 2 s

Answer: Time of Flight = 2 s

22. Numerical Example – Uniform Circular Motion

Question: एक वस्तु 2 m radius के circular path पर 4 m/s की speed से घूम रही है। Centripetal acceleration ज्ञात कीजिए।

Solution:

Formula:

a_c = v²/r

a_c = 4²/2 = 16/2 = 8 m/s²

Answer: Centripetal acceleration = 8 m/s²

23. Important Points

• Projectile Motion में horizontal और vertical motions को independently study किया जाता है।
• Projectile की trajectory parabola होती है।
• Horizontal acceleration zero होता है।
• Vertical acceleration = −g होता है।
• Maximum height पर vertical velocity zero होती है।
• 45° पर projectile की range maximum होती है।
• Uniform Circular Motion में speed constant लेकिन velocity variable होती है।
• Angular velocity का SI unit rad/s है।
• Linear और angular velocity का relation v = rω है।
• Centripetal acceleration हमेशा centre की ओर होता है।
• Centripetal force का magnitude mv²/r होता है।

24. Board Important Questions

1. Projectile Motion क्या है?
2. Projectile की trajectory का equation लिखिए।
3. Projectile Motion में horizontal और vertical components of velocity समझाइए।
4. Time of Flight का सूत्र प्राप्त कीजिए।
5. Maximum Height का सूत्र प्राप्त कीजिए।
6. Horizontal Range का सूत्र प्राप्त कीजिए।
7. सिद्ध कीजिए कि maximum range के लिए angle of projection 45° होता है।
8. Uniform Circular Motion क्या है?
9. Angular velocity को परिभाषित कीजिए तथा इसका SI unit लिखिए।
10. Linear velocity और angular velocity के बीच संबंध स्थापित कीजिए।
11. Centripetal acceleration क्या है? इसका formula लिखिए।
12. Centripetal force क्या है? इसका expression प्राप्त कीजिए।
13. Uniform Circular Motion में speed constant होने पर velocity variable क्यों होती है?

25. Practice Questions

1. एक projectile को 20 m/s की speed से 30° पर फेंका गया है। g = 10 m/s² मानकर Time of Flight ज्ञात कीजिए।
2. किसी projectile का initial velocity 10 m/s और angle of projection 45° है। Maximum Height ज्ञात कीजिए।
3. एक projectile की initial speed 20 m/s है और उसे 45° पर फेंका गया है। उसकी maximum range ज्ञात कीजिए।
4. एक वस्तु 5 m radius के circular path पर 10 m/s की speed से घूम रही है। Centripetal acceleration ज्ञात कीजिए।
5. यदि किसी circular motion में radius 2 m और angular velocity 5 rad/s है, तो linear velocity ज्ञात कीजिए।

26. Quick Revision

Concept	Formula / Fact
Horizontal Velocity	u cos θ
Vertical Velocity	u sin θ
Time of Flight	2u sin θ/g
Maximum Height	u² sin²θ/2g
Range	u² sin2θ/g
Maximum Range	u²/g at θ = 45°
Angular Velocity	ω = 2π/T = 2πf
Linear Velocity	v = rω
Centripetal Acceleration	ac = v²/r = rω²
Centripetal Force	Fc = mv²/r = mrω²

```