Vectors: Basic Concepts

Quantities that need both a magnitude and a direction to be fully described.

Vectors: Basic Concepts

भौतिकी (Physics) में कुछ राशियों को केवल उनके परिमाण (Magnitude) से व्यक्त किया जा सकता है, जबकि कुछ राशियों के लिए परिमाण के साथ दिशा (Direction) भी आवश्यक होती है। ऐसी राशियों को समझने के लिए Vector (सदिश) की अवधारणा का प्रयोग किया जाता है।

Easy Concept: जिस भौतिक राशि को व्यक्त करने के लिए केवल Magnitude पर्याप्त हो, वह Scalar (अदिश) है। जिस राशि के लिए Magnitude और Direction दोनों आवश्यक हों, वह Vector (सदिश) है।

1. Scalar and Vector Quantities

Scalar Quantity (अदिश राशि): ऐसी भौतिक राशि जिसमें केवल परिमाण होता है और दिशा की आवश्यकता नहीं होती।

Examples: Mass, Time, Temperature, Distance, Speed, Energy आदि।

Vector Quantity (सदिश राशि): ऐसी भौतिक राशि जिसमें Magnitude के साथ Direction भी होती है।

Examples: Displacement, Velocity, Acceleration, Force, Momentum आदि।

Scalar Quantity Vector Quantity
केवल Magnitude होता है Magnitude और Direction दोनों होते हैं
सामान्य संख्याओं की तरह जोड़ी जाती है Vector Addition के नियम लागू होते हैं
उदाहरण: Distance उदाहरण: Displacement
उदाहरण: Speed उदाहरण: Velocity

2. Representation of a Vector

Vector को सामान्यतः एक directed line segment द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। इसमें arrow का सिरा vector की दिशा बताता है।

यदि किसी vector को AB से दर्शाया जाए, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

→AB

या किसी vector को A अथवा 𝐀 से भी प्रदर्शित किया जाता है।

  • Arrow की लंबाई → Vector का Magnitude
  • Arrow की दिशा → Vector की Direction
  • Arrow का प्रारंभिक बिंदु → Initial Point
  • Arrow का अंतिम बिंदु → Terminal Point

3. Magnitude of a Vector

किसी vector के numerical value को उसका Magnitude (परिमाण) कहते हैं।

यदि vector को 𝐀 से दर्शाया गया है, तो उसका magnitude:

|𝐀|

या

A

से दर्शाया जा सकता है।

Important: Vector का magnitude हमेशा एक non-negative quantity होता है।

4. Direction of a Vector

Vector की direction यह बताती है कि vector किस दिशा में कार्य कर रहा है। सामान्यतः direction को किसी reference axis के साथ बनाए गए angle द्वारा व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि कोई vector positive x-axis के साथ θ कोण बनाता है, तो θ उस vector की direction को दर्शाता है।

5. Types of Vectors

(a) Zero Vector

जिस vector का magnitude zero होता है, उसे Zero Vector (शून्य सदिश) कहते हैं।

|𝐀| = 0

इसे सामान्यतः 0 से दर्शाया जाता है। Zero vector की कोई निश्चित direction नहीं होती।

(b) Unit Vector

जिस vector का magnitude 1 होता है, उसे Unit Vector (इकाई सदिश) कहते हैं।

किसी vector 𝐀 की दिशा में unit vector:

 = 𝐀 / |𝐀|

Unit vector का उपयोग मुख्यतः किसी vector की केवल direction बताने के लिए किया जाता है।

(c) Equal Vectors

दो vectors को Equal Vectors (समान सदिश) कहा जाता है यदि उनका magnitude और direction दोनों समान हों।

𝐀 = 𝐁

(d) Negative Vector

यदि दो vectors का magnitude समान हो लेकिन उनकी directions opposite हों, तो वे एक-दूसरे के Negative Vectors कहलाते हैं।

यदि 𝐀 का negative vector −𝐀 है, तो:

|−𝐀| = |𝐀|

लेकिन दोनों की directions opposite होती हैं।

(e) Parallel Vectors

जिन vectors की directions समान या parallel हों, उन्हें Parallel Vectors (समांतर सदिश) कहा जाता है।

(f) Anti-parallel Vectors

जिन vectors की directions एक-दूसरे के विपरीत हों, उन्हें Anti-parallel Vectors कहा जाता है।

6. Addition of Vectors

दो या दो से अधिक vectors को जोड़ने की प्रक्रिया को Vector Addition (सदिश योग) कहते हैं।

यदि दो vectors 𝐀 और 𝐁 हैं, तो उनका resultant vector:

𝐑 = 𝐀 + 𝐁

Vector addition में केवल magnitudes को जोड़ना पर्याप्त नहीं होता; vectors की directions को भी ध्यान में रखना पड़ता है।

7. Triangle Law of Vector Addition

Triangle Law: यदि दो vectors को magnitude और direction के अनुसार किसी त्रिभुज की दो क्रमिक भुजाओं द्वारा प्रदर्शित किया जाए, तो उनका resultant vector त्रिभुज की तीसरी भुजा द्वारा प्रदर्शित होता है, जो पहले vector के initial point से दूसरे vector के terminal point तक निर्देशित होता है।

यदि:

𝐑 = 𝐀 + 𝐁

तो 𝐑 को resultant vector कहा जाता है।

Board Focus: Triangle law of vector addition की definition और diagram-based explanation महत्वपूर्ण है।

8. Parallelogram Law of Vector Addition

यदि दो vectors को किसी बिंदु से निकलने वाली parallelogram की दो adjacent sides द्वारा प्रदर्शित किया जाए, तो उनका resultant उसी बिंदु से जाने वाले parallelogram के diagonal द्वारा प्रदर्शित होता है।

यदि दो vectors 𝐀 और 𝐁 के बीच कोण θ है, तो resultant का magnitude:

R = √(A² + B² + 2AB cos θ)

9. Special Cases of Vector Addition

स्थिति Resultant
दोनों vectors same direction में R = A + B
दोनों vectors opposite direction में R = |A − B|
दोनों vectors perpendicular हों R = √(A² + B²)

10. Resolution of a Vector

किसी vector को दो या अधिक components में विभाजित करने की प्रक्रिया को Resolution of Vector (सदिश का अवयवों में विभाजन) कहते हैं।

यदि vector 𝐀, x-axis के साथ θ angle बनाता है, तो इसके rectangular components:

Ax = A cos θ

Ay = A sin θ

अतः:

𝐀 = Ax + Ay

Remember:
x-component → A cos θ
y-component → A sin θ

11. Unit Vectors

Cartesian coordinate system में तीन प्रमुख unit vectors होते हैं:

  • î → x-axis की direction
  • ĵ → y-axis की direction
  • k̂ → z-axis की direction

किसी vector को components के रूप में लिखा जा सकता है:

𝐀 = Axî + Ayĵ + Azk̂

12. Important Formulae

Concept Formula
Magnitude |𝐀|
Unit Vector  = 𝐀 / |𝐀|
Vector Addition 𝐑 = 𝐀 + 𝐁
Resultant Magnitude R = √(A² + B² + 2AB cos θ)
x-component Ax = A cos θ
y-component Ay = A sin θ

13. Important Points

  • Scalar में केवल magnitude होता है।
  • Vector में magnitude और direction दोनों होते हैं।
  • Vector को directed line segment द्वारा represent किया जाता है।
  • Zero vector का magnitude zero होता है।
  • Unit vector का magnitude 1 होता है।
  • Equal vectors के magnitude और direction दोनों समान होते हैं।
  • Negative vector का magnitude समान लेकिन direction opposite होती है।
  • Vector addition में direction को ध्यान में रखना आवश्यक है।
  • Vector को rectangular components में resolve किया जा सकता है।

14. Board Important Questions

  1. Scalar और Vector quantities क्या हैं? उदाहरण दीजिए।
  2. Scalar और Vector quantities में अंतर लिखिए।
  3. Vector को graphical रूप से कैसे represent किया जाता है?
  4. Magnitude और Direction से क्या समझते हैं?
  5. Zero vector और Unit vector को परिभाषित कीजिए।
  6. Equal vectors और Negative vectors क्या हैं?
  7. Triangle law of vector addition लिखिए।
  8. Parallelogram law of vector addition समझाइए।
  9. दो vectors के resultant का formula प्राप्त कीजिए।
  10. Resolution of vector क्या है?
  11. किसी vector के rectangular components के सूत्र लिखिए।
  12. Unit vectors î, ĵ और k̂ से क्या समझते हैं?

15. Practice Questions

  1. यदि किसी vector का magnitude 5 है, तो उसी दिशा में उसका unit vector क्या होगा?
  2. दो समान दिशा वाले vectors के magnitudes 4 N और 6 N हैं। Resultant ज्ञात कीजिए।
  3. दो perpendicular vectors के magnitudes 3 और 4 हैं। Resultant का magnitude ज्ञात कीजिए।
  4. एक vector का magnitude 10 है और वह x-axis से 60° का angle बनाता है। उसके x और y components ज्ञात कीजिए।
  5. Vector addition और scalar addition में अंतर स्पष्ट कीजिए।

16. Quick Revision

Term Meaning
Scalar केवल Magnitude वाली राशि
Vector Magnitude और Direction वाली राशि
Zero Vector Magnitude = 0
Unit Vector Magnitude = 1
Resultant दो या अधिक vectors का प्रभावी vector
Resolution Vector को components में विभाजित करना
One-Line Revision: Vector वह भौतिक राशि है जिसमें Magnitude और Direction दोनों होते हैं, और इसे vector addition तथा resolution के नियमों द्वारा mathematically handle किया जाता है।
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